باز هم درباره مساحت و تشابه

قبلا نوشته‌بودم که فکر می‌کنم مساحت مفهومی ابتدايی‌تر از تشابه است. در حقیقت منظورم اين بود که فکر نمی‌کنم برای قضیه اصلی تشابه، اثباتی وجود داشته باشد که در آن از مفاهیم، اصول و قضیه‌های مساحت استفاده نشود. حالا چند روز است که فهميدم اشتباه می‌کردم! قضیه اصلی تشابه را می‌توان بدون مفهوم مساحت هم اثبات کرد. البته اين اثبات کمی پيچيده و طولانی است. شايد برایتان جالب باشد که بدانید این اثبات بر لم هوشمندانه زیر استوار است:

فرض کنيد x , y دو عدد حقيقی باشند بطوريکه
هر عدد گويای کوچکتر از x از y کوچکتر باشد و
هر عدد گويای کوچکتر از y از x کوچکتر باشد
آنگاه x و y برابرند.

بيشتر در اين مورد:

هندسه مقدماتی از ديدگاه پيشرفته، ادوين اِ موئيز، ترجمه دکتر امير خسروی و محمود نصيری، مبتکران، 1373

کتاب بالا ترجمه‌ای‌ست از :

Moise, Edwin E., Elementary Geometry form an Advanced Standpoint, AddisonWesley, 1990